\documentclass{article}

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\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{color,graphicx,float,epsfig,amssymb}
%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%% Document %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\title{TP3 - IMN359 - Transformée de Fourier Discrète, \\Convolution \&
  Échantillonnage} 
\author{Maxime Descoteaux}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle

Vous devez rédiger un rapport avec les solutions
% en \emph{Latex}
et me remettre un zip avec votre code Python. 
Commentez le code et assurez-vous que je puisse reproduire vos 
résultats et figures. 
Séparez votre code en différents fichiers pour faciliter la
lecture. Des points seront attribués pour la qualité du document
% latex
et ses figures (5 points), et la qualité du code Python (5 points). 

{\bf La date de remise est 16 novembre. À confirmer en classe.}
% Exercice 1.
% g0(n) = [0.5 1 1 0.5].
% 1. Calculer G0(k) = TFD[g0(n)] pour N = 4.
% 2. De G0(k), calculer g(n) = TFDI[G0(k)].
% 3. Calculer G1(k) = TFD[g0(n)] pour N = 8.
% 4. De G1(k), calculer g1(n) = TFDI[G1(k)] pour N = 8.
% 5. De G1(k), calculer g1(n) = TFDI[G1(k)] pour N = 4.
\vspace{-1cm}
\section*{}
\begin{enumerate}
% \item  {\bf Transformée de Fourier Discrète (TFD) simple et à la
%     main. Ne faites pas ça en latex. Rendez-moi votre solution papier
%     ou scannez-la.} 

% Soit la matrice a:
% $$
% a = \left [
% \begin{array}{cccc}
% 10  &   9  &   8  & 9 \\
% 2   &  8   &  4   & 7 \\
% 6   &  5   &  6   & 2 \\
% 5   &  0   &  8   &  4
% \end{array}
% \right ]
% $$

% \begin{enumerate}
% \item Calculer ac, la TFD de chacune des colonnes de a. Combien
%   d'opérations avez-vous faites?
   
% \item Calculer al, la TFD de chacune des lignes de a. Combien
%   d'opérations avez-vous faites? 
  
% \item Calculer acl, la TFD de chacune des lignes de ac trouvée en 1. 
  
% \item Calculer la TFD rapide, à la main, de a selon les
%   colonnes. Combien
%   d'opérations avez-vous faites?
%   Vérifier votre résultat avec la commande
%   \emph{fft} de Matlab, soit af1$=$fft(a).   
	  
% \item Calculer la TFD rapide, à la main, de a selon les
%   lignes. Combien
%   d'opérations avez-vous faits? 
%   Vérifier en Matlab, soit af2$=$fft(a'), où a' est la
%   transposée de a. 

% \item Calculer la FFT 2D de a selon af=fft2(a).

% \item Pour calculer la FFT 1D des colonnes puis des lignes, faire
%   af12$=$fft(fft(a)')'. Comparer af12 et af (faire af12-af). Que remarquez-vous?

% \item Comparer af1 et af2 à ac et al. Que remarquez-vous?

% \item  Comparer acl et af.  Que remarquez-vous?

% \item Finalement, comparez le nombre d'opérations faits pour la TDF
%   versus la FFT.
% \end{enumerate}

% \vspace{1cm}
% \newpage

\item {\bf TFD et Convolution [20 pts]}

  
  La transformée de Fourier de la Gaussienne $g(t) =
  \exp(-t^2/(2\sigma^2))$ est aussi une Gaussienne
  $G(f) = \sqrt{2\sigma^2\pi}\exp(-2\pi^2 \sigma^2 f^2)$.
  (https://mathworld.wolfram.com/FourierTransformGaussian.html)
  
  \begin{enumerate}  
  \vspace{0.5cm}  
  \item En Python, construiser
    et illustrer la Gaussienne 1D et sa TF de l'énoncé, utilisant
    un $\sigma = 6$ et $N$ points discrets de temps $t$. Calculez
    l'aire sous la courbe de la Gaussienne. L'aire sous la courbe
    devrait être approximativement la même peu importe le $N$ choisi.
    
  
\vspace{0.5cm}  
  \item En utilisant la \emph{fft} de Python, calculer et illustrer sa
    transformée de Fourier $G(f)$. \\
    Visualiser le résultat et assurez-vous que le résultat théorique
    de la partie a) correspond à votre résultat trouvé numériquement.\\
    Indices/Rappels:
    \begin{enumerate}
    \item Votre solution doit être robuste au choix de $N$ et $t$
    \item Le centre du spectre de fourier (la fréquence 0 dans
      fourrier) doit être égale à la somme du signal de la
      Gaussienne). Donc, l'aire sous la courbe de la Gaussienne a un
      impact.  
    \item L'énergie entre le monde temporel et fréquentiel doit être
      conservé.
    \item La fonction \emph{fftfreq} peut être très utile. Il faut
      comprendre ce qu'elle fait. 
    \end{enumerate}

\vspace{0.5cm}  
  \item Charger le signal 1D 'piece-regular'
    (piece-regular.mat). En utilisant la fonction \emph{rand},
    ajouter-y  un bruit additif avec un 
    écart type de votre choix (piece-regular + $\tau
    \cdot$np.random.rand(N). Si $\tau=0.1$, vous ajoutez 10\% de
    bruit.  
    Illustrer le signal et sa version bruité en faisant un subplot.

\vspace{0.5cm}  
  \item Illustrer de façon pratique le théorème de convolution. $(f *
    g)(t) = \mathcal{TF}^{-1}(F(w) G(w))$.

  \begin{enumerate}
    \item D'abord, calculer la convolution du signal bruité et du
      filtre Gaussien. Illustrer le résultat.
      
    \item Ensuite, faites la multiplication des transformées de
      Fourier respectives dans l'espace de Fourier et calculer la
      transformée de Fourier inverse. Illustrer le
      résultat.
      
    \item Que remarquez-vous?

    \item Montrer que le théorème de Plancherel est respecté
    (conservation d'énergie).
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{figure}[!h]
  \begin{center}
    \begin{tabular}{cc}   % table avec 2 colonnes
      \includegraphics[width=9cm]{piece-regular} &
      \includegraphics[width=6cm]{lena} \\
      Signal 1D 'piece-regular' & Image de Lena 
    \end{tabular}
    \caption{\label{fig:images} Image et signal classiques utilisés en
    imagerie.} 
  \end{center}
\end{figure}


\newpage
\item {\bf TFD 2D [20 pts]} 
\begin{enumerate}
\item Construiser un filtre cosinusoidal 1D avec un support de
  $[-\pi, \pi]$. Illustrer-le.  \\
  (Indice: Votre filtre devrait ressembler à
  une fonction porte centrée à l'origine avec des transitions moins
  abrutes à cause du cosinus tel qu'illustré en Figure~\ref{fig:sin_filtre}) 
 \vspace{0.5cm}

\begin{figure}[!t]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=6.5cm]{Sinusoidal.jpg} 
    \caption{\label{fig:sin_filtre} 
      Exemple d'un filtre cosinusoidal sur l'intervalle $[-\pi, \pi]$.}  
  \end{center}
\end{figure}

  \item Généraliser ce filtre en 2D. Illustrer-le. (Explorer la
  fonction \emph{mesh} de Python pour l'illustrer.) 

 \vspace{0.5cm}
  \item Charger l'image de Lena (lena.mat) et calculer sa transformée Fourier
  2D (\emph{fft2}). Illustrer Lena et l'image du spectre dans l'espace de Fourier
  sur une échelle logarithmique. (Faites un subplot) Que remarquez
  vous dans le contenu fréquentiel de Lena? 

 \vspace{0.5cm}

  \item En traitement d'image, pour estimer le vrai contenu
  fréquentiel d'une image et non pas ses artéfactes, on
  \emph{multiplie} 
  souvent l'image par une fonction de fenêtrage. Utiliser le filtre
  cosinusoidal créé en b) à cette fin.  
  Masquer Lena par la fonction de fenêtrage cosinusoidal (une simple
  multiplication dans le domaine image) et
  recalculer la transformée de Fourier sur l'image de Lena
  fenêtrée. Illustrer le résultat de fenêtrage et sa transformée de
  Fourier (toujours sur une échelle log). Que remarquez-vous? 

 \vspace{0.5cm}

\item Directement dans l'espace de Fourier, appliquer un filtre
  passe-bas sur le spectre de Lena.  Votre filtre passe-pas devrait
  garder seulement  les basses fréquences dans un carré 
  autour de l'origine du spectre. Définisser votre filtre de telle
  sorte qu'il garde seulement $M$ fréquences basses ($\sqrt{M}$
  fréquences en $x$
  et $\sqrt{M}$ fréquences en $y$).
  Illustrer l'image du spectre filtré pour 3 valeurs de $M$. Faites un
  subplot.\\
  (Conseil: Faites cette partie proprement. Vous en aurez besoin dans
  le TP4)

 \vspace{0.5cm}
  \item Reconstruire l'image de Lena à partir des 3 spectres
  filtrés. Illustrer les résultats sur un subplot. Rapporter l'erreur
  quadratique moyenne de chaque image 
  reconstruite et le pourcentage 
  de points utilisés pour ces reconstructions. Que
  remarquez-vous?  
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\item {\bf Échantillonnage et TFD [20 pts]} \\
  IRM.mat contient le contenu fréquentiel d'un cerveau de chat
  \emph{ex-vivo} passé en imagerie par
  résonance magnétique sur l'IRM 7 Tesla du Centre
  d'Imagerie Moléculaire de Sherbrooke. C'est vraiment ce qui sort de
  l'acquistion IRM (k-space dans le jargon IRM) avant que le module de
  reconstruction de l'imageur 
  produise l'image en faisant la iFFT (transformée de Fourier
  inverse). 
\vspace{0.5cm}
\begin{enumerate}
  \item À partir de l'image k-space, mettez une ligne sur
  $N$ ($N = 2,\, 3,\, 4$) à zéro.  C'est-à-dire, remplacer par des zéros une
  ligne sur $N$ du k-space. C'est comme si vous aviez échantillonné ou
  mesuré le signal IRM avec une ligne sur $N$ en moins.\\
  Illustrez les images reconstruites en faisant la iFFT de l'image du k-space
  et rapporter le pourcentage de points utilisés dans le titre de la figure. 
  Que remarquez-vous? 
\vspace{0.5cm}
  \item À partir de l'image k-space, faites la même chose sur les
    colonnes et illustrez la reconstruction en rapportant 
    le pourcentage de points utilisez. Que
    remarquez-vous? 
\vspace{0.5cm}
  \item Ajouter des zéros à l'image de k-space pour qu'elle soit de
  taille, 600x600, 850x850, 1024x1024. Illustrez vos
  reconstructions. Que remarquez-vous? Cette technique s'appelle le
  \emph{zero padding}. D'après vous, le zero padding donne une image
  super-résolution?\\
  {\bf Bonus}: Analyser mathétiquement ce qui se passe en faisant du
  zero padding. 
\vspace{0.5cm}
  \item Maintenant, faites un échantillonnage radial de l'image de
  k-space. C'est-à-dire, tracez des droites traversant l'origine
  à chaque angle $\theta$ (voir la Figure 2). Faites-le pour 3
  $\theta$ différents, illustrez les reconstructions en rapportant
  le pourcentage de points utilisez. Que remarquez-vous?
\vspace{0.5cm}
  \item Enfin, faites une échantillonnage aléatoire de l'image de
  k-space en gardant un certain pourcentage $P$ des points du
  k-space. Faites-le pour 3 $P$ différents,   illustrez les
  reconstructions en rapportant le pourcentage de points utilisez. Que
  remarquez-vous? 

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\begin{figure}[!b]
  \begin{center}
    \begin{tabular}{cc}   % table avec 2 colonnes
      \includegraphics[width=5cm]{ligne} &
      \includegraphics[width=5cm]{colonne} \\
      50\% des points (1 ligne sur 2) & 67\% des points (1 ligne sur
      3 éliminée) \\
      \includegraphics[width=5cm]{rayon} &
      \includegraphics[width=5cm]{random} \\      
      30\% des points (18 rayons) &  40\% des points
    \end{tabular}
    \caption{\label{fig:sampling} Échantillonnage du k-space.} 
  \end{center}
\end{figure}



\end{document}